חקירה עם פרמטר כולל תחומי קעירות 2023חקירת פונקציות 571 · שיעור 82

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 82: חקירה עם פרמטר כולל תחומי קעירות 2023

מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)

1🔵 סעיף א1: אסימפטוטות המקבילות לצירים

2🟣 סעיף א2: הוכחה שהפונקציה אי־זוגית – f(−x) = −f(x)

3🟢 סעיף א3: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים

4🔷 סעיף א4: תחומי עלייה וירידה – אין נקודות קיצון

5🔵 סעיף א5: תחומי קעירות כלפי מעלה ∪ וכלפי מטה ∩

6🟣 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

7🟢 סעיף ג: סקיצה של g(x) = |f(x)| − b – ערך מוחלט והזזה למטה

8🔷 סעיף ד: מציאת a ו-b מנקודת הקיצון (2, −3) של g(x)

נתונה הפונקציה f(x) = 2a − x²x, המוגדרת עבור x ≠ 0. a הוא פרמטר חיובי. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.

🔵 סעיף א1: אסימפטוטות המקבילות לצירים

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים, אם יש כאלה.

תחום הגדרה x ≠ 0 ← אנכית x = 0.

החזקה הגבוהה במונה 2, במכנה 1 ← אין אסימפטוטה אופקית.

✅ x = 0 ; אין אסימפטוטה אופקית

🟣 סעיף א2: הוכחה שהפונקציה אי־זוגית – f(−x) = −f(x)

הראו שהפונקציה f(x) היא פונקציה אי־זוגית.

מציבים −x במקום x:

f(−x) = 2a − (−x)²−x = 2a − x²−x

f(−x) = −1 · 2a − x²x = −f(x)

✅ f(−x) = −f(x) ← אי־זוגית

🟢 סעיף א3: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים, אם יש כאלה.

x = 0 – לא בתחום ההגדרה ← אין חיתוך עם ציר y.

y = 0: 0 = 2a − x²x ← 0 = 2a − x²

x² = 2a ← x = ±√2a

✅ (±√2a , 0)

🔷 סעיף א4: תחומי עלייה וירידה – אין נקודות קיצון

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x), אם יש כאלה.

f′(x) = −2x · x − 1 · (2a − x²)x²

f′(x) = −2x² − 2a + x²x²

f′(x) = −x² − 2ax²

−x² − 2a = 0 ← x² = −2a – אין שורש למספר שלילי (a > 0) ← אין נקודות קיצון.

−x² ו-−2a שליליים, המכנה חיובי ← f′(x) < 0 לכל x ≠ 0.

✅ ירידה: x > 0 , x < 0 ; עלייה: אין

🔵 סעיף א5: תחומי קעירות כלפי מעלה ∪ וכלפי מטה ∩

מצאו את תחום הקעירות כלפי מעלה ∪ ואת תחום הקעירות כלפי מטה ∩ של הפונקציה f(x).

f″(x) = −2x · x²
− 2x · (−x² − 2a)x⁴

f″(x) = −2x³ + 2x³ + 4axx⁴

f″(x) = 4axx⁴

4ax = 0 ← x = 0 – לא בתחום ההגדרה ← אין נקודות פיתול.

x⁴ תמיד חיובי – מציבים רק ב-4ax:

x = −1: −4a < 0 ← ∩ ; x = 1: 4a > 0 ← ∪

x	x < 0	x > 0
f″(x)	−	+
f(x)	∩	∪

✅ ∪: x > 0 ; ∩: x < 0

🟣 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

אסימפטוטה x = 0, חיתוך ב-±√2a, תמיד יורדת; ∪ מימין, ∩ משמאל.

✅ ראו סקיצה

🟢 סעיף ג: סקיצה של g(x) = |f(x)| − b – ערך מוחלט והזזה למטה

נתונה גם הפונקציה g(x) = |f(x)| − b, b הוא פרמטר חיובי. הפונקציה g(x) מוגדרת באותו התחום כמו f(x). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

|f(x)|: כל החלק השלילי של הגרף עולה למעלה (שיקוף מעל ציר x); החלק החיובי לא משתנה.

− b: כל הגרף יורד ב-b למטה.

נקודות החיתוך (±√2a , 0) יורדות ל-(±√2a , −b).

✅ ראו סקיצה

🔷 סעיף ד: מציאת a ו-b מנקודת הקיצון (2, −3) של g(x)

ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה g(x) היא (2 , −3). מצאו את הערכים של a ושל b.

x = 2 חיובי ← זו הנקודה (√2a , −b).

−b = −3 ← b = 3

√2a = 2 ← מעלים בריבוע: 2a = 4 ← a = 2

✅ a = 2 , b = 3

📌 לזכור

💡 ערך מוחלט מעלה את החלקים השליליים מעל ציר x, ו-− b מוריד הכול ב-b: נקודות החיתוך עם ציר x הופכות לנקודות מינימום (x , −b).

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא